คำตอบของทีม
ไม่ได้ส่งคำตอบ
ไม่ได้ส่งคำตอบ
คะแนน + โบนัสทำเร็ว
0.0
0.0
แชร์
ไม่ได้ส่งคำตอบ 
มวลทรงกลม $m$ จำนวนสองก้อนสัมผัสกัน และโดนดึงดูดเข้าหาดาวเคราะห์ทรงกลมมวล $M$ โดยเคลื่อนที่มาจากระยะไกลมาก มวลทั้งสามเรียงตัวในแนวเส้นตรงเดียวกัน
กำหนดให้มวล $m$ มีขนาดน้อยกว่า $M$ มากๆ และมวล $m$ ทั้งคู่มีรัศมี $r$ เท่ากัน
ให้ $R$ เป็นระยะระหว่างศูนย์กลางมวลของดาวเคราะห์และจุดกึ่งกลางของมวล $m$ ทั้งคู่ (ุจุดที่ผิวของ $m$ สัมผัสกัน)
ที่ตำแหน่ง $\displaystyle{\frac{r}{R} = \beta (\frac{m}{M})^{\frac{1}{3}}}$ มวล $m$ ทั้งสองก้อนเริ่มแยกออกจากกัน
จงหาค่าของตัวเลข $\beta$ ให้ตอบเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
ให้ใช้การประมาณ $(R + \ell)^n \approx R^n (1 + \displaystyle{\frac{n\ell}{R}})$ เมื่อ $\ell << R$ มาก และ $n$ เป็นจำนวนจริง
กำหนดให้มวล $m$ มีขนาดน้อยกว่า $M$ มากๆ และมวล $m$ ทั้งคู่มีรัศมี $r$ เท่ากัน
ให้ $R$ เป็นระยะระหว่างศูนย์กลางมวลของดาวเคราะห์และจุดกึ่งกลางของมวล $m$ ทั้งคู่ (ุจุดที่ผิวของ $m$ สัมผัสกัน)
ที่ตำแหน่ง $\displaystyle{\frac{r}{R} = \beta (\frac{m}{M})^{\frac{1}{3}}}$ มวล $m$ ทั้งสองก้อนเริ่มแยกออกจากกัน
จงหาค่าของตัวเลข $\beta$ ให้ตอบเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
ให้ใช้การประมาณ $(R + \ell)^n \approx R^n (1 + \displaystyle{\frac{n\ell}{R}})$ เมื่อ $\ell << R$ มาก และ $n$ เป็นจำนวนจริง
เฉลย
ตอบ 0.5
เมื่อวัตถุอยู่ที่ระยะต่างกัน แรงโน้มถ่วงที่กระทำกับมันก็ต่างกันด้วย ซึ่งเป็นลักษณะของแรงไทดัล (tidal force) เป็นแรงประเภทเดียวกับที่ทำให้เกิดน้ำขึ้นน้ำลงบนโลก เพราะน้ำแต่ละส่วนอยู่ห่างจากดวงจันทร์ (และดวงอาทิตย์) ไม่เท่ากัน
ที่ระยะไกลๆ มวล $m$ มีแรงดึงดูดระหว่างกันมากพอที่จะทำให้มันยังคงเคลื่อนที่สัมผัส (และดัน) กันไป
ขณะที่เคลื่อนไปด้วยกัน
ให้ $a$ เป็นความเร่งของมวลทั้งคู่เข้าหาดาวเคราะห์
ให้ $F$ เป็นแรงที่ \(m\) กระทำระหว่างกัน (แรงดึงดูดและแรงดันกันที่ผิว)
มวลก้อนหน้า \(\displaystyle{\frac{GMm}{(R-r)^2}} - F = ma\)
มวลก้อนหลัง \(\displaystyle{\frac{GMm}{(R + r)^2}} + F = ma\)
แก้สมการได้ \(F \approx GMm\displaystyle{\frac{2r}{R^3}}\) เมื่อใช้การประมาณตามที่โจทย์ให้มา
ในจังหวะที่เริ่มแยกออกจากกันนั้น จะไม่มีการดันกันที่ผิว มีเพียงแรงดึงดูดระหว่าง $m$ เท่ากับ \(\displaystyle{\frac{Gmm}{(2r)^2}}\)
ดังนั้น \(GMm \displaystyle{\frac{2r}{R^3}} \approx \displaystyle{\frac{Gmm}{(2r)^2}}\)
หรือ \(\displaystyle{\frac{r}{R} \approx \frac{1}{2} (\frac{m}{M})^{\frac{1}{3}}}\)
หมายเหตุ:
1. นักเรียนอาจได้คำตอบ \(F \approx GMm\displaystyle{\frac{4r}{R^3}}\) ซึ่งไม่ถูกต้อง เพราะเป็นเพียงการนำแรงโน้มถ่วงมาลบกัน โดยไม่ได้คำนึงว่ามวลทั้งคู่ต้องมีความเร่งเท่ากัน ให้นักเรียนลองคิดว่ามวลทั้งคู่ผูกติดกันด้วยเชือก แล้วหาความตึงของเชือก นักเรียนจะเข้าใจมากขึ้น
2. สถานการณ์ในโจทย์ข้อนี้เป็นโมเดลอย่างง่ายในการวิเคราะห์ตำแหน่งที่ดาวหางจะแตกออกเป็นเสี่ยงๆ เมื่อเคลื่อนที่ใกล้ดาวเคราะห์
3. กรณีมวล $m$ ก้อนเดียวถูกฉีกให้แยกเป็นเสี่ยงๆ ค่า $\beta = 2^{ - \frac{1}{3}}$